12873. а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами (0;0)
, (x_{1};y_{1})
и (x_{2};y_{2})
равна \frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|
.
б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами (x_{1};y_{1})
, (x_{2};y_{2})
и (x_{3};y_{3})
равна \frac{1}{2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{3}y_{2}|
.
Решение. а) Прямая, проходящая через точки (0;0)
и (x_{1};y_{1})
задаётся уравнением y_{1}x-x_{1}y=0
, поэтому расстояние h
от точки (x_{2};y_{2})
до это прямой равно \frac{|y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}
(см. задачу 4249). Это расстояние равно высоте рассматриваемого треугольника, опущенной на сторону, равную \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}
. Следовательно, искомая площадь равна
\frac{1}{2}\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot h=\frac{1}{2}\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\frac{|y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.
б) Площадь рассматриваемого треугольника равна площади равного ему треугольника с вершинами (0;0)
, (x_{1}-x_{3};y_{1}-y_{3})
и (x_{2}-x_{3};y_{2}-y_{3})
, полученного из исходного треугольника параллельным переносом на вектор с координатами (-x_{3};-y_{3})
, т. е.
\frac{1}{2}|(x_{1}-x_{3})(y_{2}-y_{3})-(x_{2}-x_{3})(y_{1}-y_{3})|=
=\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{3}y_{2}|.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.78, с. 296