12875. Последовательные стороны четырёхугольника равны a
, b
, c
и d
, а диагонали равны e
и f
. Докажите, что если \varphi
— угол между диагоналями, то \cos\varphi=\left|\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{2ef}\right|
.
Решение. Пусть ABCD
— четырёхугольник со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
и AD=d
. Для любых четырёх точек A
, B
, C
и D
верно равенство
AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}-BC^{2}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=2AC\cdot BD\cos\angle(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})
(см. задачу 8291). В нашем случае получим
\cos\varphi=\left|\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{2ef}\right|.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 12.2, с. 89