8291. Докажите, что если A
, B
, C
и D
— произвольные точки пространства, то
AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}-BC^{2}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}.
Решение. AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}-BC^{2}=(AB^{2}-AD^{2})+(CD^{2}-BC^{2})=
=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC})=
=\overrightarrow{DB}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})=
=\overrightarrow{DB}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC})\overrightarrow{BD}=
=\overrightarrow{DB}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{DB}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=
=\overrightarrow{DB}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}.
Примечание. 1. Очевидно, утверждение верно для любых четырёх точек плоскости.
2. Из доказанного утверждения следует, что: 1) диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны (задача 1344); 2) для того чтобы тетраэдр был ортоцентрическим необходимо и достаточно, что суммы квадратов его противоположных рёбер были равны (задача 7273).
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 445, с. 69
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — с. 78
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 11.2, с. 81