7273. Свойства и признаки ортоцентрического тетраэдра. Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра ABCD
попарно перпендикулярны тогда и только тогда, когда
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.
Решение. Первый способ. Рассмотрим описанный параллелепипед AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
) тетраэдра ABCD
(см. задачу 7041).
Достаточность. Пусть AB\perp CD
, AC\perp BD
и AD\perp BC
. Поскольку KL\parallel CD
, то KL\perp AB
, поэтому параллелограмм AKBL
— ромб. Аналогично докажем, что все шесть граней параллелепипеда AKBLNDMC
— ромбы. Значит, все рёбра параллелепипеда равны. Обозначим их длины через x
. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
AB^{2}+CD^{2}=4x^{2},~AC^{2}+BD^{2}=4x^{2},~AD^{2}+BC^{2}=4x^{2}.
Следовательно,
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.
Достаточность. Пусть AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}
. Рассмотрим параллелограммы AKBL
и BMCL
с общей стороной BL
. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма
AB^{2}+CD^{2}=AB^{2}+KL^{2}=2\cdot AL^{2}+2\cdot BL^{2},
BC^{2}+AD^{2}=BC^{2}+ML^{2}=2\cdot CL^{2}+2\cdot BL^{2},
а так как AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}
, то AL=CL
. Аналогично докажем, что все остальные рёбра параллелепипеда равны. Значит, все его грани — ромбы. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, перпендикулярны и противоположные рёбра тетраэдра ABCD
.
Второй способ. Для любых точек A
, B
, C
и D
пространства верно равенство
AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}-BC^{2}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}
(см. задачу 8291). Следовательно,
AC\perp BD~\Leftrightarrow~AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.
Аналогично для остальных пар противоположных рёбер тетраэдра ABCD
.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена и В.Н.Дубровского: «Из геометрии тетраэдра», Квант, 1988, N9, с.66.