7041. Описанный параллелепипед тетраэдра. Через противоположные рёбра AB
и CD
тетраэдра ABCD
проведены параллельные плоскости, одна из которых содержит прямую AB
, а вторая — прямую CD
(см. задачу 8139). Аналогично получим ещё две пары параллельных плоскостей. Рассмотрим параллелепипед, образованный пересечениями этих трёх пар параллельных плоскостей. Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра ABCD
являются диагоналями противоположных граней параллелепипеда.
Решение. Пусть AKBLNDMC
, где AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
, — параллелепипед, полученный способом, указанным в условии. Тогда AB
и CD
— диагонали противоположных граней AKBL
и NDMC
этого параллелепипеда. Аналогично для рёбер AC
и BD
, а также для рёбер AD
и BC
.
Примечание. Объём V
тетраэдра равен трети объёма V_{1}
описанного параллелепипеда. Действительно, объём тетраэдра равен объёму его описанного параллелепипеда без объёмов четырёх тетраэдров, объём каждого из которых равен шестой части объёма параллелепипеда, т. е.
V=V_{1}-4\cdot\frac{1}{6}V_{1}=V_{1}-\frac{2}{3}V_{1}=\frac{1}{3}V_{1}.