12881. Пусть
O
— центр окружности, описанной около треугольника
ABC
с углами
\alpha
,
\beta
и
\gamma
при вершинах
A
,
B
и
C
соответственно. Докажите, что
\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.

Указание. См.задачу 5116.
Решение. Для произвольной точки
P
верно равенство
\overrightarrow{PO}=\frac{\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{PC}}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}

(см. задачу 5116). В частности, если
P
совпадает с
O
, то
\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{OO}=\overrightarrow{0}=\frac{\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{OC}}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}.

Следовательно,
\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}.

Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.35, с. 44