12881. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
с углами \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно. Докажите, что
\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.
Указание. См.задачу 5116.
Решение. Для произвольной точки P
верно равенство
\overrightarrow{PO}=\frac{\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{PC}}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}
(см. задачу 5116). В частности, если P
совпадает с O
, то
\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{OO}=\overrightarrow{0}=\frac{\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{OC}}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}.
Следовательно,
\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}.
Что и требовалось доказать.