5116. Пусть O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
, P
— произвольная точка. Докажите, что
\overrightarrow{PO}=\frac{\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{PC}}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma},
где \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника при вершинах A
, B
и C
соответственно.
Указание. См. задачи 5114, 4186 и 1663.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки пересечения лучей AO
, BO
и CO
со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{\sin2\gamma}{\sin2\beta},~\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{\sin2\beta}{\sin2\alpha},~\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{\sin2\alpha}{\sin2\gamma},
(см. задачу 5114),
\overrightarrow{PA_{1}}=\frac{CA_{1}}{BC}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac{BA_{1}}{BC}\cdot\overrightarrow{PC}=\frac{\sin2\beta}{\sin2\beta+\sin2\gamma}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac{\sin2\gamma}{\sin2\beta+\sin2\gamma}\cdot\overrightarrow{PC}
(см. задачу 4186).
По теореме Ван-Обеля (см. задачу 1663)
\frac{AO}{OA_{1}}=\frac{AB_{1}}{B_{1}C}+\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{\sin2\gamma}{\sin2\alpha}+\frac{\sin2\beta}{\sin2\alpha}=\frac{\sin2\beta+\sin2\gamma}{\sin2\alpha}.
Следовательно,
\overrightarrow{PO}=\frac{OA_{1}}{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{PA}+\frac{AO}{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{PA_{1}}=
=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}\cdot\overrightarrow{PA}+\frac{\sin2\beta+\sin2\gamma}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}\cdot\overrightarrow{PA_{1}}=
=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}\cdot\overrightarrow{PA}+
+\frac{\sin2\beta+\sin2\gamma}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}\left(\frac{\sin2\beta}{\sin2\beta+\sin2\gamma}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac{\sin2\gamma}{\sin2\beta+\sin2\gamma}\cdot\overrightarrow{PC}\right)=
=\frac{\sin2\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\sin2\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\sin2\gamma\cdot\overrightarrow{PC}}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Формула верна и для тупоугольного треугольника. Это можно доказать, считая отрезки направленными.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.26, с. 43