12882. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
с углами \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно. Докажите, что
\tg\alpha\cdot\overrightarrow{HA}+\tg\beta\cdot\overrightarrow{HB}+\tg\gamma\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}.
Указание. См.задачу 5117.
Решение. Для произвольной точки P
верно равенство
\overrightarrow{PH}=\frac{\tg\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\tg\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\tg\gamma\cdot\overrightarrow{PC}}{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma},
(см. задачу 5117). В частности, если P
совпадает с H
, то
\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{HH}=\overrightarrow{0}=\frac{\tg\alpha\cdot\overrightarrow{HA}+\tg\beta\cdot\overrightarrow{HB}+\tg\gamma\cdot\overrightarrow{HC}}{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma},
Следовательно,
\tg\alpha\cdot\overrightarrow{HA}+\tg\beta\cdot\overrightarrow{HB}+\tg\gamma\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.35, с. 44