5117. Пусть H
— точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC
, P
— произвольная точка. Докажите, что
\overrightarrow{PH}=\frac{\tg\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\tg\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\tg\gamma\cdot\overrightarrow{PC}}{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma},
где \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника при вершинах A
, B
и C
соответственно.
Указание. См. задачи 4186 и 1663.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Тогда
BA_{1}=AA_{1}\ctg\beta,~A_{1}C=AA_{1}\ctg\gamma,
поэтому
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{\ctg\beta}{\ctg\gamma}=\frac{\tg\gamma}{\tg\beta}.
Аналогично
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{\tg\beta}{\tg\alpha},~\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{\tg\gamma}{\tg\alpha}.
Значит,
\overrightarrow{PA_{1}}=\frac{CA_{1}}{BC}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac{BA_{1}}{BC}\cdot\overrightarrow{PC}=\frac{\tg\beta}{\tg\beta+\tg\gamma}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac{\tg\gamma}{\tg\beta+\tg\gamma}\cdot\overrightarrow{PC}
(см. задачу 4186).
По теореме Ван-Обеля (см. задачу 1663)
\frac{AH}{HA_{1}}=\frac{AB_{1}}{B_{1}C}+\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{\tg\gamma}{\tg\alpha}+\frac{\tg\beta}{\tg\alpha}=\frac{\tg\beta+\tg\gamma}{\tg\alpha}.
Следовательно,
\overrightarrow{PH}=\frac{HA_{1}}{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{PA}+\frac{AH}{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{PA_{1}}=
=\frac{\tg\alpha}{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma}\cdot\overrightarrow{PA}+\frac{\tg\beta+\tg\gamma}{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma}\cdot\overrightarrow{PA_{1}}=
=\frac{\tg\alpha}{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma}\cdot\overrightarrow{PA}+
+\frac{\tg\beta+\tg\gamma}{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma}\left(\frac{\tg\beta}{\tg\beta+\tg\gamma}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac{\tg\gamma}{\tg\beta+\tg\gamma}\cdot\overrightarrow{PC}\right)=
=\frac{\tg\alpha\cdot\overrightarrow{PA}+\tg\beta\cdot\overrightarrow{PB}+\tg\gamma\cdot\overrightarrow{PC}}{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Формула верна и для тупоугольного треугольника. Это можно доказать, считая отрезки направленными.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.27, с. 43