12883. Высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Докажите, что
AH\cdot AA_{1}+BH\cdot BB_{1}+CH\cdot CC_{1}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle A=\alpha
. Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BH
. Тогда (см. задачу 2636)
AH\cdot AA_{1}=AC_{1}\cdot AB=b\cos\alpha\cdot c=bc\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}).
Аналогично,
BH\cdot BB_{1}=\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2}),~CH\cdot CC_{1}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Следовательно,
AH\cdot AA_{1}+BH\cdot BB_{1}+CH\cdot CC_{1}=
=\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Что и требовалось доказать.