12889. Угол при основании равнобедренного треугольника равен \alpha
. В каком отношении делит площадь треугольника прямая, делящая его основание в отношении 2:1
и составляющая острый угол \beta
с меньшей частью основания?
Ответ. (9\tg\alpha\ctg\beta+7):2=(9\sin(\alpha+\beta)-2\cos\alpha\sin\beta):2\cos\alpha\sin\beta
.
Решение. Пусть точка M
лежит на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
, причём BM:MC=2:1
, а прямая, проходящая через точку M
, пересекает боковую сторону AC
в точке N
, причём острый угол CMN
равен \beta
.
Положим CM=t
, BM=2t
. Тогда
AB=AC=\frac{\frac{3}{2}t}{\cos\alpha}=\frac{3t}{2\cos\alpha}.
По теореме синусов из треугольника CMN
получаем
\frac{CN}{\sin\beta}=\frac{CM}{\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)},~\mbox{или}~\frac{CN}{\sin\beta}=\frac{t}{\sin(\alpha+\beta)},
откуда CN=\frac{t\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}
.
Значит (см. задачу 3007),
\frac{S_{\triangle MCN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CM}{CB}\cdot\frac{CN}{CA}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\frac{t\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}}{\frac{3t}{2\cos\alpha}}=\frac{2\cos\alpha\sin\beta}{9\sin(\alpha+\beta)}=
=\frac{2\cos\alpha\sin\beta}{9\sin\alpha\cos\beta+9\cos\alpha\sin\beta}=\frac{2}{9\tg\alpha\ctg\beta+9}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}-S_{\triangle CMN}}{S_{\triangle CMN}}=\frac{9\tg\alpha\ctg\beta+7}{2}.