12890. Прямая AD
делит медиану BM
в отношении 5:1
, считая от точки B
. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника ABC
?
Ответ. 5:2
.
Решение. Пусть точка D
лежит на медиане BM
, а прямая AD
пересекает сторону BC
в точке E
.
Первый способ. Обозначим AM=MC=a
. Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть эта прямая пересекает продолжение AE
в точке T
. Треугольник BDT
подобен треугольнику MDA
с коэффициентом \frac{BD}{DM}=5
, поэтому BT=5a
. Треугольник BED
подобен треугольнику CEA
, значит,
\frac{BE}{EC}=\frac{BT}{CA}=\frac{5a}{2a}=\frac{5}{2}.
Следовательно (см. задачу 3000),
\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ACE}}=\frac{BE}{EC}=\frac{5}{2}.
Второй способ. Через точку M
проведём прямую, параллельную AE
. Пусть эта прямая пересекает сторону BC
в точке F
. По теореме Фалеса EF=FC
. По теореме о пропорциональных отрезках BE:EF=BD:DM=5:1
. Значит, BE:EC=5:2
. Следовательно (см. задачу 3000),
\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ACE}}=\frac{BE}{EC}=\frac{5}{2}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 10, с. 139