12894. Вычислите угол при вершине C
равнобедренного треугольника ABC
с основанием AB
, если центр его описанной окружности лежит на прямой, проходящей через ортогональные проекции точек A
и B
на на противоположные стороны треугольника.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Пусть M
— середина основания ABC
, а A_{1}
и B_{1}
— ортогональные проекции точек соответственно A
и B
на противоположные стороны треугольника. Поскольку AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
, треугольник A_{1}B_{1}C
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\gamma
(см. задачу 19). Значит, \frac{CO}{CM}=\cos\gamma
.
Центральный угол AOB
вдвое больше соответствующего вписанного угла ACB
, поэтому
\angle AOM=\frac{1}{2}\angle AOB=\gamma.
Тогда
OM=OA\cos\gamma=R\cos\gamma,
CM=CO+OM=R+R\cos\gamma=R(1+\cos\gamma).
Значит,
\frac{CO}{CM}=\frac{R}{R(1+\cos\gamma)}=\frac{1}{1+\cos\gamma}.
Из уравнения \frac{1}{1+\cos\gamma}=\cos\gamma
находим, что
\cos\gamma=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.