12895. Дан параллелограмм ABCD
, в котором AC=AB\sqrt{2}
. Докажите, что угол между его диагоналями равен углу между сторонами.
Решение. Обозначим AB=CD=a
, AD=BC=b
, BD=d
. По условию AC=a\sqrt{2}
. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. задачу 4011), т. е.
d^{2}+2a^{2}=2a^{2}+2b^{2},
откуда d=b\sqrt{2}
.
Пусть O
— центр параллелограмма, угол между диагоналями параллелограмма равен \alpha
, а угол между соседними сторонами равен \beta
. По теореме косинусов из треугольников AOD
и BAD
получаем
\cos\alpha=\left|\frac{\frac{a^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}-b^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{b\sqrt{2}}{2}}\right|=\frac{|a^{2}-b^{2}|}{2ab},
\cos\beta=\left|\frac{a^{2}+b^{2}-2b^{2}}{2ab}\right|=\frac{|a^{2}-b^{2}|}{2ab}.
Отсюда следует доказываемое утверждение.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 46, с. 142