12902. Дан правильный семиугольник A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}
. Докажите, что
A_{1}A_{4}^{2}=A_{1}A_{2}^{2}+A_{1}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}.
Решение. Заметим, что
A_{4}A_{5}=A_{1}A_{2},~A_{2}A_{5}=A_{1}A_{4}=A_{1}A_{5},~A_{2}A_{4}=A_{1}A_{3}~.
Применив теорему Птолемея (см. задачу 130) к четырёхугольнику A_{1}A_{2}A_{4}A_{5}
, получим
A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}=A_{1}A_{2}\cdot A_{4}A_{5}+A_{2}A_{4}\cdot A_{1}A_{5},
или
A_{1}A_{4}^{2}=A_{1}A_{2}^{2}+A_{1}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}.
Что и требовалось доказать.