12903. В равнобедренную трапецию вписана окружность и около этой трапеции описана окружность, центр которой лежит на основании трапеции. Найдите отношение радиусов этих окружностей.
Ответ. \sqrt{2+\sqrt{5}}
.
Решение. Пусть ABCD
— данная равнобедренная трапеция с основаниями AD
и BC
, O
и I
— центры её описанной и вписанной окружностей радиусов R
и r
соответственно, M
и N
— точки касания вписанной окружности с основанием BC
и боковой стороной CD
соответственно. Тогда M
— середина оснований BC
.
Из прямоугольного треугольника OMC
находим, что
CM=\sqrt{OC^{2}-OM^{2}}=\sqrt{R^{2}-4r^{2}},
а так как IN
— высота прямоугольного треугольника CID
(см. задачу 313), проведённая из вершины прямого угла, то
r^{2}=IN^{2}=CN\cdot DN=CM\cdot DO=\sqrt{R^{2}-4r^{2}}\cdot R.
После возведения в квадрат обеих частей уравнения r^{2}=R\sqrt{R^{2}-4r^{2}}
и очевидных упрощений получим уравнение
\left(\frac{R}{r}\right)^{4}-4\left(\frac{R}{r}\right)^{2}-1=0,
из которого находим, что \left(\frac{R}{r}\right)^{2}=\sqrt{2+\sqrt{5}}
. Следовательно, \frac{R}{r}=\sqrt{2+\sqrt{5}}
.