12909. Дана окружность радиуса R
с диаметром AD
. Окружность с центром A
пересекает первую окружность в точке B
, а диаметр AD
— в точке C
. При каком значении радиуса второй окружности длина отрезка BC
будет наибольшей?
Ответ. \frac{4}{3}R
.
Решение. Пусть радиус второй окружности равен r
, CE
— её диаметр, а BC=x
. Точка B
лежит на окружностях с диаметрами AD
и CE
, поэтому
\angle ABD=\angle CBE=90^{\circ}.
Поскольку AB\perp BD
, прямая BD
— касательная ко второй окружности (1735). Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle CBD=\angle BEC=\angle BED.
Значит, треугольники CBD
и BED
подобны по двум углам (угол при вершине D
— общий). Тогда \frac{BC}{BE}=\frac{BD}{ED}
, или
\frac{x}{\sqrt{4r^{2}-x^{2}}}=\frac{\sqrt{4R^{2}-r^{2}}}{2R+r}=\frac{\sqrt{2R-r}}{\sqrt{2R+r}},
x\sqrt{2R+r}=\sqrt{2R-r}\cdot\sqrt{4r^{2}-x^{2}},~x^{2}(2R+r)=(2R-r)(4r^{2}-x^{2}).
Тогда
x^{2}=\frac{(2R-r)r^{2}}{R}=\frac{4}{R}\cdot(2R-r)\cdot\frac{r}{2}\cdot\frac{r}{2}\leqslant\frac{4}{R}\cdot\left(\frac{(2R-r)+\frac{r}{2}+\frac{r}{2}}{3}\right)^{3}=
=\frac{4}{R}\cdot\frac{8R^{3}}{27}=\frac{32R^{2}}{27},
причём равенство достигается, если 2R-r=\frac{r}{2}
, т. е. при r=\frac{4}{3}R
. Следовательно, наибольшее значение длины отрезка BC
достигается при r=\frac{4}{3}R
.
Примечание. Можно исследовать на наибольшее функцию f(r)=\frac{(2R-r)r^{2}}{R}
с помощью производной.