l_{a}

l_{b}

l_{c}

ABC

S

p

r

l_{a}l_{b}l_{c}\leqslant rp^{2}

BC=a

AC=b

AB=c

l_{a}=\frac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c},

4bc\leqslant(b+c)^{2}

(b-c)^{2}\leqslant0

l_{a}^{2}=\frac{4bcp(p-a)}{(b+c)^{2}}\leqslant\frac{(b+c)^{2}p(p-a)}{(b+c)^{2}}=p(p-a).

l_{b}^{2}\leqslant p(p-b),~l_{c}^{2}\leqslant p(p-c).

l_{a}^{2}l_{b}^{2}l_{b}^{2}\leqslant p^{3}(p-a)(p-b)(p-c)=p^{2}\cdot p(p-a)(p-b)(p-c)=p^{2}S^{2}.

l_{a}l_{b}l_{c}\leqslant pS=p\cdot pr=rp^{2}.