12913. Пусть l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
— биссектрисы треугольника ABC
, площадь которого равна S
, полупериметр равен p
, а радиус вписанной окружности равен r
. Докажите, что l_{a}l_{b}l_{c}\leqslant rp^{2}
.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
. Известно (см. задачу 4751), что
l_{a}=\frac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c},
а так как 4bc\leqslant(b+c)^{2}
(поскольку (b-c)^{2}\leqslant0
), то
l_{a}^{2}=\frac{4bcp(p-a)}{(b+c)^{2}}\leqslant\frac{(b+c)^{2}p(p-a)}{(b+c)^{2}}=p(p-a).
Аналогично,
l_{b}^{2}\leqslant p(p-b),~l_{c}^{2}\leqslant p(p-c).
Значит,
l_{a}^{2}l_{b}^{2}l_{b}^{2}\leqslant p^{3}(p-a)(p-b)(p-c)=p^{2}\cdot p(p-a)(p-b)(p-c)=p^{2}S^{2}.
Следовательно,
l_{a}l_{b}l_{c}\leqslant pS=p\cdot pr=rp^{2}.
Что и требовалось доказать.