12914. Медианы AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
перпендикулярны. Углы при вершинах A
и B
равны \alpha
и \beta
соответственно. Докажите, что
\ctg\alpha+\ctg\beta\geqslant\frac{2}{3}.
Решение. Пусть CC_{1}=m_{c}
— медиана треугольника ABC
, CC_{2}=h_{c}
— высота. Из прямоугольных треугольников AC_{2}C
и BC_{2}C
получаем
AC_{1}=CC_{2}\ctg\alpha=h_{c}\ctg\alpha,~BC_{1}=CC_{2}\ctg\beta=h_{c}\ctg\beta,~
поэтому
h_{c}(\ctg\alpha+\ctg\beta)=AC_{1}+BC_{1}=c.
Значит,
\ctg\alpha+\ctg\beta=\frac{c}{h_{c}}\geqslant\frac{c}{m_{c}}.
Пусть M
— точка пересечения медиан. Тогда MC_{1}
— медиана прямоугольного треугольника AMB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1109)
\frac{1}{3}m_{c}=MC_{1}=\frac{1}{2}c~\Rightarrow~m_{c}=\frac{3}{2}c.
Следовательно,
\ctg\alpha+\ctg\beta\geqslant\frac{c}{m_{c}}=\frac{c}{\frac{3}{2}c}=\frac{2}{3}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Заметим, что равенство \ctg\alpha+\ctg\beta=\frac{c}{h_{c}}
верно и для случая, когда один из углов \alpha
или \beta
не меньше 90^{\circ}
.