12917. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF
попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD
, BE
и CF
равны.
Решение. Необходимость. Пусть шестиугольник ABCDEF
вписанный. Тогда ABDE
— вписанная трапеция (или прямоугольник). Её диагонали AD
и BE
равны. Аналогично равны диагонали BE
и CF
. Следовательно, AD=BE=CF
.
Достаточность. Пусть AD=BE=CF
. Рассмотрим трапецию (или прямоугольник) ABDE
. Её диагонали равны, значит, она равнобедренная. Тогда прямая, проходящая через середины оснований AB
и DE
(общий серединный перпендикуляр к отрезкам AB
и DE
), делит пополам угол между прямыми AD
и BE
. Аналогично для пар диагоналей AD
, CF
и BE
, CF
.
Если прямые AD
, BE
и CF
при пересечении образуют треугольник, то прямые, содержащие биссектрисы его углов, пересекаются в одной точке (см. задачу 1140). Эта точка — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам шестиугольника, т. е. центр его описанной окружности.
Если же прямые AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке, то эта точка и есть центр описанной окружности шестиугольника.