1140. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Указание. Точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех сторон треугольника, поэтому она лежит на третьей биссектрисе.
Решение. Первый способ. Пусть O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, проведённых из вершин B
и C
. Поскольку точка O
лежит на биссектрисе угла B
, то она равноудалена от сторон угла ABC
. В то же время, точка O
лежит на биссектрисе угла C
, поэтому она равноудалена от сторон угла ACB
. Значит, точка O
равноудалена от сторон угла BAC
. Следовательно, она лежит на биссектрисе этого угла, т. е. биссектриса угла A
также проходит через точку O
.
Поскольку точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон, она является центром окружности, вписанной в треугольник.
Второй способ. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
. Тогда
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{AB}{BC},~\frac{CA_{1}}{A_{1}B}=\frac{AC}{AB},~\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=\frac{BC}{AC}
(см. задачу 1509). Значит,
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=\frac{AB}{BC}\cdot\frac{AC}{AB}\cdot\frac{BC}{AC}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Примечание. Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.