12925. Точки M
и N
симметричны вершине C
треугольника ABC
относительно прямых, содержащих биссектрисы его углов A
и B
. Докажите, что точка P
касания стороны AB
с вписанной в треугольник ABC
окружностью — середина отрезка MN
.
Решение. Пусть Q
и T
— точки касания вписанной окружности данного треугольника со сторонами BC
и AC
соответственно.
Первый способ. Тогда AP=AT
и BP=BQ
, а так как AM=AC
и BN=BC
, то
PM=AM-AP=AC-AT=CT=CQ=BC-BQ=BN-BP=PN.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть BC=a
, AC=b
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
PM=AM-AP=AC-AT=b-(p-a)=a+b-p,
PN=BN-BP=BC-BQ=a-(p-b)=a+b-p.
Следовательно, PM=PN
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — задача 1, с. 166