12931. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, если известны все стороны трапеции.
Ответ. \frac{1}{}\sqrt{2c^{2}+2d^{2}-(b-a)^{2}}
.
Решение. Пусть M
и N
середины оснований соответственно BC=a
и AD=b
трапеции ABCD
с боковыми сторонами AB=c
и CD=d
. Без ограничения общности считаем, что a\lt b
.
Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно боковой стороне AB
, пересекает основание AD
в точке P
, а прямая, проходящая через точку M
параллельно боковой стороне CD
пересекает это основание в точке Q
. Поскольку ABMP
и DCMQ
— параллелограммы, то
AP=BM=\frac{a}{2},~DQ=CM=\frac{a}{2}.
Тогда
PN=AN-AP=\frac{b}{2}-\frac{a}{2}=DN-DQ=QN,
поэтому MN
— медиана треугольника PMQ
со сторонами
MP=AB=c,~MQ=CD=d,~PQ=AD-AN-DQ=b-\frac{a}{2}-\frac{a}{2}=b-a.
Следовательно (см. задачу 4014),
MN=\frac{1}{4}\sqrt{2MP^{2}+2MQ^{2}-PQ^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2d^{2}-(b-a)^{2}}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.60, с. 173