12947. На прямых AB
и AC
взяты точки M
и N
соответственно. Докажите, что общая хорда двух окружностей с диаметрами CM
и BN
проходит через точку пересечения высот треугольника ABC
.
Решение. Пусть первая окружность пересекает прямую AC
в точке B_{1}
. Тогда из точки B_{1}
диаметр CM
виден под прямым углом, значит, BB_{1}
— высота треугольника ABC
. Аналогично, если вторая окружность пересекает прямую AB
в точке B_{1}
, то BB_{1}
— также высота треугольника ABC
.
Рассмотрим третью окружность — окружность с диаметром BC
. Она проходит через точки B_{1}
и C_{1}
, поэтому BB_{1}
— общая хорда первой и третьей окружностей, а CC_{1}
— общая хорда второй и третьей. Следовательно (см. задачу 2844), общая хорда первой и второй окружностей проходит через точку пересечения высот треугольника ABC
.