2844. Теорема о радикальном центре трёх окружностей. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что прямые, содержащие три общие хорды каждой пары этих окружностей, пересекаются в одной точке.
Указание. Используя теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд окружности или теорему о произведении всей секущей на её внешнюю часть, докажите, что одна из указанных прямых проходит через точку пересечения двух других.
Решение. Первый способ. Пусть окружности
S_{1}
и
S_{2}
пересекаются в точках
A
и
B
, окружности
S_{1}
и
S_{3}
— в точках
C
и
D
, окружности
S_{2}
и
S_{3}
— в точках
E
и
F
. Рассмотрим случай, когда попарно пересекаются отрезки
AB
,
CD
и
EF
.
Если
M
— точка пересечения отрезков
CD
и
EF
, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
CM\cdot MD=EM\cdot MF.

Через точки
A
и
M
проведём прямую, вторично пересекающую окружность
S_{2}
в точке
B_{1}
. Тогда хорды
AB_{1}
и
EF
окружности
S_{2}
пересекаются в точке
M
, поэтому
AM\cdot MB_{1}=EM\cdot MF=CM\cdot MD.

Значит точки
A
,
B_{1}
,
C
и
D
лежат на одной окружности (см. задачу 114), а так как через точки
A
,
C
и
D
проходит единственная окружность
S_{1}
, то точка
B_{1}
лежит на окружности
S_{1}
. Таким образом, точка
B_{1}
является общей точкой окружностей
S_{1}
и
S_{2}
, отличной от точки
A
. Значит, точка
B_{1}
совпадает с точкой
B
. Следовательно, хорда
AB
проходит через точку пересечения хорд
CD
и
EF
.
Аналогично для случая когда пересекаются продолжения отрезков
AB
,
CD
и
EF
.
Второй способ. Пусть
O_{1}
,
O_{2}
и
O_{3}
— центры окружностей
S_{1}
,
S_{2}
и
S_{3}
радиусов
r_{1}
,
r_{2}
и
r_{3}
соответственно, причём окружности
S_{1}
и
S_{2}
пересекаются в точках
A
и
B
, окружности
S_{1}
и
S_{3}
— в точках
C
и
D
, окружности
S_{2}
и
S_{3}
— в точках
E
и
F
.
Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их линии центров, поэтому
AB\perp O_{1}O_{2}
,
CD\perp O_{1}O_{3}
и
EF\perp O_{2}O_{3}
. Пусть
U
,
V
,
W
— середины отрезков
AB
,
CD
,
EF
соответственно. Тогда
O_{1}U^{2}-O_{2}U^{2}+O_{2}W^{2}-O_{3}W^{2}+O_{3}V^{2}-O_{1}V^{2}=

=O_{1}A^{2}-O_{2}A^{2}+O_{2}E^{2}-O_{3}E^{2}+O_{3}C^{2}-O_{1}C^{2}=

=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{3}^{2}+r_{3}^{2}-r_{1}^{2}=0.

Применив теорему Карно к треугольнику
O_{1}O_{2}O_{3}
и прямым
AB
,
CD
и
EF
(см. задачу 2276), получим, что эти прямые пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Третий способ. См. задачи 6392 и 6393.