12954. В треугольнике из вершины A
проведены медиана, биссектриса и высота. Какой угол больше: между медианой и биссектрисой или между биссектрисой и высотой, если угол при вершине A
дан?
Ответ. Если угол при вершине A
острый, то угол между биссектрисой и высотой больше, чем угол между медианой и биссектрисой; если угол при вершине A
тупой — наоборот. Если этот угол прямой, то указанные углы равны.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, AD
— высота, AL
— биссектриса, AM
— медиана, O
— центр описанной окружности треугольника, R
— её радиус. Продолжим биссектрису AL
до пересечения с описанной окружностью в точке A_{1}
. Тогда A_{1}
— точка пересечения биссектрисы угла при вершине A
и серединного перпендикуляра к стороне BC
. Поскольку прямые MA_{1}
и AD
параллельны, то \angle MA_{1}A=\angle DAA_{1}
.
Пусть \angle BAC\lt90^{\circ}
. Тогда точки A_{1}
и O
лежат по разные стороны от прямой BC
, поэтому
\angle MAL=\angle MAA_{1}\lt\angle OAA_{1}=\angle OA_{1}A=\angle MA_{1}A=\angle DAL.
Следовательно, угол между биссектрисой и высотой больше, чем угол между медианой и биссектрисой.
Пусть \angle BAC\gt90^{\circ}
. Тогда точки A_{1}
и O
лежат по одну сторону от прямой BC
, поэтому
\angle MAL=\angle MAA_{1}\gt\angle OAA_{1}=\angle OA_{1}A=\angle MA_{1}A=\angle DAL.
Следовательно, угол между медианой и биссектрисой больше, чем угол между высотой и биссектрисой.
Если же \angle BAC=90^{\circ}
, то эти углы равны, так как в этом случае биссектриса угла MAL
совпадает с биссектрисой прямого угла (см. задачу 84).