1296. На высоте AH
остроугольного треугольника ABC
взята точка D
. Прямые BD
и CD
пересекают стороны AC
и AB
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что луч HA
— биссектриса угла B_{1}HC_{1}
. (Теорема Бланше.)
Указание. Через вершину A
проведите прямую, параллельную стороне BC
, и примените теорему Чевы (или воспользуйтесь задачей 4115).
Решение. Через вершину A
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Пусть прямые HB_{1}
и HC_{1}
пересекают её в точках N
и M
соответственно. Из подобия треугольников AB_{1}N
и CB_{1}H
находим, что AN=CH\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}
, а из подобия треугольников AC_{1}M
и BC_{1}H
— AM=BH\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}
. Разделив первое равенство на второе и применив теорему Чевы (см. задачу 1621), получим, что
\frac{AN}{AM}=\frac{CH}{BH}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{C_{1}B}{AC_{1}}=\frac{CH}{HB}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=1.
Значит, AN=AM
.
Поскольку AH\perp BC
и MN\parallel BC
, то AH\perp MN
. Высота HA
треугольника MHN
является его медианой, значит, HA
— биссектриса угла MHN
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. 1. Верно и обратное. Если точки H
, B_{1}
и C_{1}
, лежащие на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
остроугольного треугольника ABC
, таковы, что отрезки AH
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке, и при этом луч HA
— биссектриса B_{1}HC_{1}
, то AH
— высота треугольника ABC
.
Доказательство. Через вершину A
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Пусть прямые HB_{1}
и HC_{1}
пересекают её в точках N
и M
соответственно. Из подобия треугольников AB_{1}N
и CB_{1}H
находим, что AN=CH\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}
, а из подобия треугольников AC_{1}M
и BC_{1}H
— AM=BH\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}
. Разделив первое равенство на второе и применив теорему Чевы (см. задачу 1621), получим, что
\frac{AN}{AM}=\frac{CH}{BH}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{C_{1}B}{AC_{1}}=\frac{CH}{HB}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=1.
Значит, AN=AM
.
Биссектриса HA
треугольника MHN
является его медианой, значит, HA
— высота этого треугольника, а так как BC\parallel MN
, то AH
— высота треугольника ABC
.
2. Фактически оба доказанных утверждения представляют собой теорему Бланше. На сторонах AC
и AB
треугольника ABC
отметили точки B_{1}
и C_{1}
соответственно. Отрезки BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются на высоте AH
тогда и только тогда, когда \angle AHB_{1}=\angle AHC_{1}
.
3. См. также Квант, 2020, N11-12, с.52.
Автор: Саллинен Е. В.
Источник: Журнал «Квант». — 1972, № 5, с. 25, М141; 1973, № 1, с. 26, M141
Источник: Задачник «Кванта». — M141
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — , с. 85
Источник: Тригг Ч. Задачи с изюминкой. — М.: Мир, 1975. — № 135, с. 36
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 83, с. 146
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 505, с. 85
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 430 с. 51
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 5, задача 3161 (2006, 305, 308), с. 318