1296. На высоте
AH
остроугольного треугольника
ABC
взята точка
D
. Прямые
BD
и
CD
пересекают стороны
AC
и
AB
в точках
B_{1}
и
C_{1}
соответственно. Докажите, что луч
HA
— биссектриса угла
B_{1}HC_{1}
. (Теорема Бланше.)
Указание. Через вершину
A
проведите прямую, параллельную стороне
BC
, и примените теорему Чевы (или воспользуйтесь задачей 4115).
Решение. Через вершину
A
проведём прямую, параллельную стороне
BC
. Пусть прямые
HB_{1}
и
HC_{1}
пересекают её в точках
N
и
M
соответственно. Из подобия треугольников
AB_{1}N
и
CB_{1}H
находим, что
AN=CH\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}
, а из подобия треугольников
AC_{1}M
и
BC_{1}H
—
AM=BH\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}
. Разделив первое равенство на второе и применив теорему Чевы (см. задачу 1621), получим, что
\frac{AN}{AM}=\frac{CH}{BH}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{C_{1}B}{AC_{1}}=\frac{CH}{HB}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=1.

Значит,
AN=AM
.
Поскольку
AH\perp BC
и
MN\parallel BC
, то
AH\perp MN
. Высота
HA
треугольника
MHN
является его медианой, значит,
HA
— биссектриса угла
MHN
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. 1. Верно и обратное. Если точки
H
,
B_{1}
и
C_{1}
, лежащие на сторонах соответственно
BC
,
AC
и
AB
остроугольного треугольника
ABC
, таковы, что отрезки
AH
,
BB_{1}
и
CC_{1}
пересекаются в одной точке, и при этом луч
HA
— биссектриса
B_{1}HC_{1}
, то
AH
— высота треугольника
ABC
.
Доказательство. Через вершину
A
проведём прямую, параллельную стороне
BC
. Пусть прямые
HB_{1}
и
HC_{1}
пересекают её в точках
N
и
M
соответственно. Из подобия треугольников
AB_{1}N
и
CB_{1}H
находим, что
AN=CH\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}
, а из подобия треугольников
AC_{1}M
и
BC_{1}H
—
AM=BH\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}
. Разделив первое равенство на второе и применив теорему Чевы (см. задачу 1621), получим, что
\frac{AN}{AM}=\frac{CH}{BH}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{C_{1}B}{AC_{1}}=\frac{CH}{HB}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=1.

Значит,
AN=AM
.
Биссектриса
HA
треугольника
MHN
является его медианой, значит,
HA
— высота этого треугольника, а так как
BC\parallel MN
, то
AH
— высота треугольника
ABC
. задачи.
2. Фактически оба доказанных утверждения представляют собой теорему Бланше. На сторонах
AC
и
AB
треугольника
ABC
отметили точки
B_{1}
и
C_{1}
соответственно. Отрезки
BB_{1}
и
CC_{1}
пересекаются на высоте
AH
тогда и только тогда, когда
\angle AHB_{1}=\angle AHC_{1}
.
3. См. также, Квант, 2020, N11-12, с.52.