12967. Даны окружность с центром O
и точка A
внутри неё. Постройте на окружности точку M
, для которой угол AMO
был бы наибольшим.
Решение. Через точку A
проведём хорду MN
, перпендикулярную OA
. Докажем, угол AMO
(или равный ему угол ANO
) наибольший.
Действительно, если X
— произвольная точка окружности, отличная от M
и N
, а XY
— хорда, проведённая через точку A
, то XY\gt MN
(см. задачу 470). Проведём диаметры MK
и XZ
. Из теоремы синусов получаем, что острый угол XZY
прямоугольного треугольника XYZ
больше острого угла MKN
прямоугольного треугольника MKN
. Тогда острый угол YXZ
меньше острого угла NMK
. Значит,
\angle AXO=\angle YXZ\lt\angle NMK=\angle AMO.
Что и требовалось доказать.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 133, с. 25