12971. Точка M
удалена от сторон правильного треугольника (от прямых, на которых расположены его стороны) на расстояния 2, 3 и 6. Найдите сторону треугольника, если известно, что его площадь меньше 14.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}}{3}
.
Решение. 1. Если точка M
лежит внутри треугольника ABC
со стороной a
, то сумма расстояний от неё до сторон треугольника равна его высоте (см. задачу 4024), т. е.
\frac{a\sqrt{3}}{2}=2+3+6=11,
откуда
a=\frac{22}{\sqrt{3}}=\frac{22\sqrt{3}}{3}.
Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{121\sqrt{3}}{3}\gt14.
2. Пусть точка M
лежит вне треугольника ABC
, но внутри угла BAC
. Тогда
S_{\triangle ABC}=(S_{\triangle BAM}+S_{\triangle CAM})-S_{\triangle BCM},
т. е. либо
\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot2+\frac{1}{2}a\cdot3-\frac{1}{2}a\cdot6=\frac{1}{2}a(2+3-6)\lt0,
что невозможно, либо
\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot2+\frac{1}{2}a\cdot6-\frac{1}{2}a\cdot3=\frac{1}{2}a(2+6-3)=\frac{5}{2}a~\Rightarrow~a=\frac{10}{\sqrt{3}}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~S_{\triangle ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{3}\gt14,
либо
\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot3+\frac{1}{2}a\cdot6-\frac{1}{2}a\cdot2=\frac{1}{2}a(3+6-2)=\frac{7}{2}a~\Rightarrow~a=\frac{14}{\sqrt{3}}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~S_{\triangle ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{49\sqrt{3}}{3}\gt14.
3. Пусть точка M
лежит вне треугольника ABC
, но внутри угла, вертикального с углом треугольника, например, при вершине A
. Тогда, если расстояние от точки M
до прямой BC
равно 6, а расстояния до прямых AC
и AB
равно 2 и 3 соответственно, то
\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCM}-(S_{\triangle BAM}+S_{\triangle CAM})=
\frac{1}{2}\cdot6a-\frac{1}{2}\cdot3a-\frac{1}{2}\cdot2a=\frac{1}{2}a(6-3-2)=\frac{a}{2},
откуда
a=\frac{2}{\sqrt{3}}~\Rightarrow~S_{\triangle ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}\lt14.
Тот же результат будет в случае, когда расстояния до прямых AC
и AB
равно 3 и 2 соответственно. Заметим, что расстояние от точки до прямой BC
быть только равным 6, иначе рассмотренная выше разность площадей будет отрицательной.
4. Ясно, что точка M
не может лежать на прямой, содержащей сторону треугольника.
Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственный возможный вариант расположения точки M
. При нём сторона треугольника равна \frac{2}{\sqrt{3}}
.