12983. Дан треугольник ABC
; пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— точки описанной около него окружности, диаметрально противоположные точкам A
, B
и C
соответственно. Проведём через A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
прямые, соответственно параллельные сторонам BC
, CA
и AB
. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, гомотетичен треугольнику ABC
с коэффициентом 2 и центром в точке пересечения высот треугольника ABC
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Поскольку A_{1}B\perp AB
и CH\perp AB
, прямые A_{1}B
и CH
параллельны. Аналогично, параллельны прямые A_{1}C
и CH
. Значит, BA_{1}CH
— параллелограмм. Его диагонали BC
и HA_{1}
делятся точкой M
пересечения пополам. Тогда при гомотетии с центром H
и коэффициентом 2 точка M
переходит в A_{1}
, а проходящая через неё прямая BC
— в параллельную ей прямую, проходящую через A_{1}
(см. задачу 5707). Аналогично для точек B_{1}
и C_{1}
. Отсюда следует утверждение задачи.