12986. Через вершину A
треугольника ABC
проведена прямая параллельно BC
; на этой прямой взята точка D
так, что AD=AC+AB
; отрезок DB
пересекает сторону AC
в точке E
. Докажите, что прямая, проведённая через точку E
параллельно BC
, проходит через центр вписанной в треугольник ABC
окружности.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Треугольники AED
и CEB
подобны, поэтому
\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BC}=\frac{b+c}{a}.
Пусть AA_{1}
— биссектриса треугольника ABC
, I
— центр вписанной в него окружности. Тогда точка I
лежит на отрезке AA_{1}
, причём
\frac{AI}{IA_{1}}=\frac{b+c}{a}=\frac{AE}{EC}
(см. задачу 2906). Значит, EI\parallel BC
. Отсюда следует утверждение задачи.