12992. Пусть M
— произвольная точка внутри треугольника ABC
; x
, y
и z
— расстояния от этой точки до вершин A
, B
и C
соответственно; u
, v
и w
— расстояния до сторон BC=a
, AC=b
и AB=c
соответственно; S
— площадь треугольника. Докажите, что
ax+by+cz\geqslant4S.
Решение. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
внешним образом построим параллелограммы. Пусть P
— точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB
и BC
. Тогда площадь параллелограмма со стороной AC
и стороной, равной и параллельной PB
, равна равна сумме площадей первых двух параллелограммов (см. задачу 11323).
Поскольку высота этого третьего параллелограмма, опущенная на сторону AC
, не больше BP
, то сумма площадей первых двух параллелограммов не больше AC\cdot BP
. Значит,
AB\cdot w+AC\cdot v\leqslant BC\cdot x,
Аналогично,
AB\cdot w+BC\cdot u\leqslant AC\cdot y,~AC\cdot v+BC\cdot u\leqslant AC\cdot z.
Сложив эти три равенства, получим
2(BC\cdot u+AC\cdot v+AB\cdot w)\leqslant BC\cdot x+AC\cdot y+AB\cdot z,
а так как
BC\cdot u+AC\cdot v+AB\cdot w=2S_{\triangle MBC}+2S_{\triangle MAC}+2S_{\triangle MAB}=2S,
то
4S\leqslant ax+by+cz.
Что и требовалось доказать.