12994. Пусть M
— произвольная точка внутри треугольника ABC
; x
, y
и z
— расстояния от этой точки до вершин A
, B
и C
соответственно; u
, v
и w
— расстояния до сторон BC=a
, AC=b
и AB=c
соответственно. Докажите, что
xu+yv+zw\geqslant2(uv+vw+uw).
Решение. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
внешним образом построим параллелограммы. Пусть P
— точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB
и BC
. Тогда площадь параллелограмма со стороной AC
и стороной, равной и параллельной PB
, равна равна сумме площадей первых двух параллелограммов (см. задачу 11323).
Поскольку высота этого третьего параллелограмма, опущенная на сторону AC
, не больше BP
, то сумма площадей первых двух параллелограммов не больше BC\cdot BP
. Значит,
AB\cdot w+AC\cdot v\leqslant BC\cdot x,~\mbox{или}~ax\geqslant bv+cw.
Аналогично,
by\geqslant au+cw,~zc\geqslant au+bv.
Тогда
x\geqslant\frac{b}{a}v+\frac{c}{a}w,~y\geqslant\frac{a}{b}u+\frac{c}{b}w,~z\geqslant\frac{a}{c}u+\frac{b}{c}v,
xu\geqslant\frac{b}{a}vu+\frac{c}{a}wu,~yv\geqslant\frac{a}{b}uv+\frac{c}{b}wv,~zw\geqslant\frac{a}{c}uw+\frac{b}{c}vw.
Сложив эти три равенства и перегруппировав слагаемые, получим
xu+yv+zw\geqslant\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)uv+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)uw+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)vw~\geqslant
\geqslant2uv+2uw+2vw=2(uv+uw+vw).
Что и требовалось доказать.