13007. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
, точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— основания высот, опущенных на эти стороны, A_{3}
, B_{3}
и C_{3}
— середины отрезков AH
, BH
и CH
, где H
— ортоцентр треугольника. Докажите, что
\angle C_{3}A_{2}A_{1}=\angle C_{3}B_{3}A_{1}=\angle C_{3}C_{2}A_{1}=\angle C_{3}C_{1}A_{1}=\angle C_{3}A_{3}A_{1}=\angle C_{3}B_{2}A_{1}=\angle C_{3}B_{1}A_{1}.
Указание. Указанные углы вписаны в окружность девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174) и опираются на одну и ту же дугу.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — задача 16, с. 277