13011. Треугольник, A_{1}B_{1}C_{1}
, образованный касательными к описанной окружности треугольника ABC
, проведёнными в точках касания, называется тангенциальным треугольником треугольника ABC
.
Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC
, AC
и AB
соответственно, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, p_{1}
— полупериметр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Докажите, что:
а) A_{1}C_{1}=R(\tg\alpha+\tg\gamma)
, A_{1}B_{1}=R(\tg\alpha+\tg\beta)
, B_{1}C_{1}=R(\tg\beta+\tg\gamma)
;
б) p_{1}=R\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma
.
Решение. а) Пусть BC=a
. Из равнобедренного треугольника A_{1}BC
находим, что
AB_{1}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\cos\angle A_{1}BC}=\frac{BC}{2\cos\angle BAC}=\frac{a}{2\cos\alpha}=\frac{2R\sin\alpha}{2\cos\alpha}=R\tg\alpha.
Аналогично, BC_{1}=R\tg\gamma
. Следовательно,
A_{1}C_{1}=A_{1}B+BC_{1}=R\tg\alpha+R\tg\gamma=R(\tg\alpha+\tg\gamma).
Аналогично,
A_{1}B_{1}=R(\tg\alpha+\tg\beta),~B_{1}C_{1}=R(\tg\beta+\tg\gamma).
б) Воспользуемся результатом предыдущего пункта и формулой
\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma
(см. задачу 3277). Получим
2p_{1}=R(\tg\alpha+\tg\gamma)+R(\tg\alpha+\tg\beta)+R(\tg\beta+\tg\gamma)=
=2R(\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma)=2\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma.
Следовательно,
p_{1}=R\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma.