13016. Прямая l
касается в точке C
окружности с диаметром AB
. Точки M
и N
— проекции точек соответственно A
и B
на прямую l
, D
— проекция точки C
на AB
. Докажите, что CD^{2}=AM\cdot BN
.
Решение. Пусть CD
— высота прямоугольного треугольника ABC
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACM=\angle ABC=\angle ACD,
поэтому прямоугольные треугольники BNC
и BDC
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, BN=BD
. Аналогично, AM=AD
. Следовательно (см. задачу 2728),
AM\cdot BN=AD\cdot BD=BC^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 312