13019. Даны две окружности с радиусами R
и r
. Их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, образованного этим касательными и общей внешней касательной окружностей.
Ответ. Rr
.
Решение. Пусть общие внешние касательные данных окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
и радиусами r
и R
пересекаются в точке C
, общая внешняя касательная касается первой окружности в точке D
, второй — в точке K
, одна из общих внутренних касательных пересекает прямую DK
в точке A
, а вторая — в точке B
(A
между D
и B
), прямая AC
касается первой и второй окружностей в точках E
и F
соответственно, прямая BC
— в точках E_{1}
и F_{1}
соответственно.
Первый способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle FO_{1}K=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\alpha.
Значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}(R+AE)(r+BF_{1})=
=\frac{1}{2}\left(R+R\tg\frac{\alpha}{2}\right)\left(r+r\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\right)=\frac{1}{2}Rr\left(1+\tg\frac{\alpha}{2}\right)\left(1+\frac{1-\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg\frac{\alpha}{2}}\right)=
=\frac{1}{2}Rr\left(1+\tg\frac{\alpha}{2}\right)\left(\frac{2}{1+\tg\frac{\alpha}{2}}\right)=Rr.
Второй способ. Обозначим DK=l
, DA=x
, BK=y
. Четырёхугольники ECE_{1}O_{2}
и FCF_{1}O_{1}
— квадраты, поэтому
EC=CE_{1}=R,~FC=F_{1}C=r.
Кроме того,
AD=AE=x,~BK=BF_{1}=y,~BD=BE_{1},~AK=AF,
поэтому
l-x=R+r+x,~l-y=R+r+y,
откуда x=y
и AB=R+r
.
По теореме Пифагора из треугольника ABC
получаем
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2},~\mbox{или}~(R+r)^{2}=(R+x)^{2}+(r+x)^{2},
откуда
Rr=Rx+rx+x^{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}(R+x)(r+x)=\frac{1}{2}(Rr+Rx+rx+x^{2})=
=\frac{1}{2}(Rr+Rr)=Rr.
Третий способ. Пусть p
— полупериметр прямоугольного треугольника, S
— площадь, а r_{a}
и r_{b}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов a
и b
соответственно. Тогда r_{a}=p-b
и r_{b}=p-a
(см. примечание к задаче 1994), S=r_{a}r_{b}
(см. задачу 5294).
В нашей задаче данные окружности — это вневписанные окружности треугольника ABC
, касающиеся катетов, следовательно,
S_{\triangle ABC}=Rr.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 529