5294. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC
с катетами BC=a
, AC=b
и гипотенузой AB=c
, равен r
, а радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, равен r_{c}
. Площадь, полупериметр и высота, проведённая из вершины прямого угла, равны S
, p
и h
соответственно. Докажите, что:
а) ab=ch=2pr
; б) r=p-c
; в) S=p(p-c)=(p-a)(p-b)
; г) r_{c}=p
.
Решение. а) Записав тремя способами площадь треугольника ABC
, получим, что
S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch=pr.
Следовательно, ab=ch=2pr
б) Пусть окружность с центром O
, вписанная в треугольник ABC
, касается катетов BC
и AC
в точках M
и N
соответственно. Тогда CM=p-a
(см. задачу 219), а так как OMCN
— квадрат, то CM=OM=r
. Следовательно, r=p-c
.
в) Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается гипотенузы в точке K
. Тогда BK=p-b
, AK=p-a
, CM=p-c=r
(см. задачу 219). Следовательно,
S=AK\cdot BK=(p-a)(p-b)
(см. задачу 4862) и
S=pr=p\cdot CM=p(p-c).
г) Пусть вневписанная окружность с центром O_{1}
касается гипотенузы AB
в точке L
, а продолжений катетов BC
и AC
— в точках P
и Q
соответственно. Тогда CPO_{1}Q
— квадрат со стороной r_{c}
. Значит, CP=r_{c}=p
(см. задачу 4805).