4862. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью.
Указание. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть S
— площадь прямоугольного треугольника с катетами a
и b
, r
— радиус вписанной окружности, p
— полупериметр, m
и n
— указанные в условии отрезки гипотенузы. Тогда p=m+n+r
. Поэтому
2S=ab=(m+r)(n+r)=mn+(m+n+r)r=mn+pr=mn+S.
Отсюда находим, что S=mn
.
Примечание. Верно более общее утверждение: если известен угол \alpha
треугольника и отрезки m
и n
, на которые вписанная окружность делит противоположную сторону, то S=mn\ctg\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4899).
Отсюда следует утверждение, обратное утверждению задачи: если площадь треугольника равна произведению длин отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью, то треугольник прямоугольный (\ctg\frac{\alpha}{2}=1
\Rightarrow
\alpha=90^{\circ}
).
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 5, с. 183
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 83, с. 144
Источник: Журнал «Квант». — 1984, № 1, с. 42, М841; 1984, № 4, с. 35, М841
Источник: Задачник «Кванта». — М841
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 31, с. 11
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.3, с. 32
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 23а, с. 32
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 154, с. 48