4899. Найдите площадь треугольника, если известен его угол \alpha
и отрезки m
и n
, на которые вписанная окружность делит противоположную сторону.
Ответ. mn\ctg\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Примените формулу a^{2}=(b-c)^{2}+4S\tg\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4898), где a
, b
и c
— стороны треугольника, а \alpha
— угол, противолежащий стороне a
.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, угол, противолежащий стороне a
, равен \alpha
, а расстояние от вершины угла, равного \alpha
, до точки касания вписанной окружности со стороной b
равно x
.
Тогда a^{2}=(b-c)^{2}+4S\tg\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4898), а так как
a=m+n,~b-c=m+x-(n+x)=m-n,
то
(m+n)^{2}=(m-n)^{2}+4S\tg\frac{\alpha}{2}.
Отсюда находим, что S=mn\ctg\frac{\alpha}{2}
.
Примечание. В частности, если \alpha=90^{\circ}
, то S=mn
(см. задачу 4862).