13026. В параллелограмме ABCD
опустили перпендикуляр BH
на сторону AD
. На отрезке BH
отметили точку M
, равноудалённую от точек C
и D
. Докажите, что окружность с диаметром DM
проходит через середину стороны AB
.
Решение. Пусть L
— середина стороны CD
. Поскольку прямая ML
— серединный перпендикуляр к отрезку CD
, то точка L
, как и точка H
, лежит на окружности с диаметром DM
. Кроме того, точка L
лежит на окружности с диаметром CM
.
Пусть K
— середина стороны AB
. Из равенства треугольников DKL
и LBC
(по двум сторонам и углу между ними) получаем, что \angle DKL=\angle LBC
, а так как вписанные в окружность с диаметром CM
углы LBC
и LMC
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle DKL=\angle LBC=\angle LMC=\angle DML.
Следовательно (см. задачу 12), точка K
тоже лежит на окружности с диаметром DM
. Что и требовалось доказать.