13034. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Биссектриса угла BCA
пересекает прямую EF
в точке M
. Точка P
симметрична E
относительно точки M
. Докажите, что треугольник BPF
равнобедренный.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
и AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
AE=AF=p-a,~BF=BD=p-b,~CD=CE=p-c.
Через вершину B
проведём прямую l
, параллельную прямой AC
. Пусть прямые l
и EF
пересекаются в точке P'
. Тогда треугольники BP'F
и AEF
подобны по двум углам, а так как треугольник AEF
равнобедренный (AF=AE=p-a
), то треугольник BP'F
тоже равнобедренный, BP'=BF=p-b
.
Пусть биссектриса угла ACB
пересекает прямую l
в точке G
. Из параллельности P'G
и EC
получаем
\angle P'GM=\angle MCE=\angle MCB,
поэтому треугольник CBG
равнобедренный, BG=BC
, а так как
BG=BC\gt BD=p-b,
то
P'G=BG-BP'=BC-BF=BC-BD=CD=CE.
Значит, треугольники P'GM
и ECM
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, P'M=ME=MP
, и поэтому точка P'
совпадает с P
. Отсюда следует утверждение задачи.