13048. Дана трапеция ABCD
. Прямая, проведённая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, пересекает боковую сторону AB
в точке M
. Пусть MK
— перпендикуляр к прямой CD
. Докажите, что луч KM
— биссектриса угла AKB
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей трапеции, а AP
и BQ
— перпендикуляры к прямой CD
. Поскольку AP\parallel BQ
, прямоугольные треугольники APB
и BQC
подобны. Кроме того, подобны треугольники AOD
и COB
. Тогда по теореме Фалеса
\frac{KP}{KQ}=\frac{AM}{MB}=\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{AP}{BQ}.
Значит, прямоугольные треугольники APK
и BQK
подобны (их катеты пропорциональны), поэтому
\angle BKM=\angle KBQ=\angle KAP=\angle AKM.
Следовательно, KM
— биссектриса угла AKB
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Можно и так. Из подобия треугольников APK
и BQK
получаем, что
\frac{KA}{KB}=\frac{KP}{KQ}=\frac{AM}{MB}.
Следовательно (см. задачу 1510), KM
— биссектриса треугольника AKB
.