13051. В равнобедренной трапеции основания равны a
и b
, а угол диагонали с основанием равен \alpha
. Найдите отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей с серединой боковой стороны трапеции.
Ответ. \frac{1}{4}\sqrt{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}\tg^{2}\alpha}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями AD=a
и BC=b
пересекаются в точке O
, \angle CAD=\alpha
, а M
— середина боковой стороны AB
.
Предположим, что a\gt b
. Проведём высоту CH
трапеции, а через точку O
— прямую, параллельную CH
и пересекающую основания AD
и BC
в точках L
и K
соответственно. Тогда (см. задачу 1921)
AH=\frac{1}{2}(a+b),~KL=CH=AH\tg\angle CAH=\frac{1}{2}(b+a)\tg\alpha,
OL=AL\tg\angle OAL=\frac{a}{2}\tg\alpha.
Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно основаниям трапеции, пересекает отрезок KL
в точке P
. По теореме Фалеса P
— середина LK
, поэтому
OP=OL-LP=OL-\frac{1}{2}KL=\frac{a}{2}\tg\alpha-\frac{1}{4}(b+a)\tg\alpha=\frac{1}{4}(a-b)\tg\alpha.
Отрезок MP
равен половине средней линии трапеции, т. е.
MP=\frac{1}{4}(a+b).
Следовательно,
OM=\sqrt{MP^{2}+OP^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}(a+b)\right)^{2}+\left(\frac{1}{4}(a-b)\tg\alpha\right)^{2}}=
=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}\tg^{2}\alpha}.
Аналогично для a\lt b
.