13052. Сторона правильного треугольника равна a
. Из его центра радиусом \frac{a}{3}
проведена окружность. Найдите площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.
Ответ. \frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{18}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного треугольника ABC
со стороной a
. Тогда перпендикуляр, опущенный из точки O
на сторону треугольника, равен \frac{a\sqrt{3}}{6}
(см. задачу 1963), а так как \frac{a}{3}\gt\frac{a\sqrt{3}}{6}
, то окружность пересекает каждую сторону треугольника в двух точках.
Пусть M
и N
— ближайшие к вершине A
точки пересечения окружности со сторонами AB
и AC
. Угол при вершине A
равнобедренного треугольника AMN
равен 60^{\circ}
, поэтому этот треугольник правильный со стороной \frac{a}{3}
. Его высота AH
равна \frac{a\sqrt{3}}{6}
, а так как OA=\frac{a\sqrt{3}}{3}
(см. задачу 1963), то H
— середина OA
. Диагонали четырёхугольника AMON
перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит, AMON
— ромб со стороной \frac{a}{3}
и острым углом 60^{\circ}
.
Пусть S_{1}
— площадь этого ромба, S_{2}
— площадь сектора MON
, т. е. шестая часть площади круга радиуса \frac{a}{3}
, S
часть площади ромба, расположенной вне этого сектора. Тогда
S_{1}=2\cdot S_{\triangle AMN}=2\cdot\frac{MN^{2}\sqrt{3}}{4}=2\cdot\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18},
S_{2}=\frac{1}{6}\pi\left(\frac{a}{3}\right)^{2}=\frac{1}{54}\pi a^{2},
S=S_{1}-S_{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}-\frac{1}{54}\pi a^{2}=\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{54}.
Следовательно, искомая площадь части треугольника ABC
, лежащей вне этой окружности равна
3S=3\cdot\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{54}=\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{18}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1966, № 3, вариант 5