13056. Основание равнобедренного треугольника равно b
, а угол при основании равен \alpha
. Прямая пересекает продолжение основания в точке M
под углом \beta
и делит ближайшую к M
боковую сторону треугольника. Найдите площадь четырёхугольника, отсекаемого прямой от данного треугольника.
Ответ. \frac{b^{2}\tg\alpha(4\sin(\alpha+\beta)-2\sin(\alpha-\beta))}{16\sin(\alpha+\beta)}
.
Решение. Пусть угол при основании AB=b
равнобедренного треугольника ABC
равен \alpha
, а прямая пересекает под углом \beta
продолжение основания за точку B
, проходит через середину K
боковой стороны BC
и пересекает боковую сторону AC
в точке L
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CKL=\angle BKM=\angle ABC-\angle BMK=\alpha-\beta,
\angle CLK=\angle CLM=\angle BAC+\angle AML=\alpha+\beta.
Применив теорему синусов к треугольнику CKL
, получим \frac{CL}{\sin\angle CKL}=\frac{CK}{\sin\angle CLK}
, откуда
\frac{CL}{AC}=\frac{CL}{2CK}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\angle CKL}{\sin\angle CLK}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}.
Пусть N
— середина стороны AB
. Тогда CN
— высота треугольника ABC
. Из прямоугольного треугольника ANC
находим, что
CN=\frac{b\tg\alpha}{2},~BC=AC=\frac{b}{2\cos\alpha}.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CN=\frac{b^{2}\tg\alpha}{4},
S_{\triangle CKL}=\frac{CK}{CB}\cdot\frac{CL}{CA}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot\frac{b^{2}\tg\alpha}{4}=
=\frac{b^{2}\tg\alpha\sin(\alpha-\beta)}{16\sin(\alpha+\beta)}.
Следовательно,
S_{ABKL}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle CKL}=\frac{b^{2}\tg\alpha}{4}-\frac{b^{2}\tg\alpha\sin(\alpha-\beta)}{16\sin(\alpha+\beta)}=
=\frac{b^{2}\tg\alpha(4\sin(\alpha+\beta)-2\sin(\alpha-\beta))}{16\sin(\alpha+\beta)}.
Источник: Вступительный экзамен на биолого-почвенный факультет МГУ. — 1966, № 3, вариант 2
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3, с. 50, вариант 2