13058. В равнобедренный треугольник помещены две окружности. Первая имеет радиус R
и касается всех сторон треугольника, а вторая имеет радиус r
и касается боковых сторон и первой окружности. Найдите стороны треугольника.
Ответ. \frac{2R\sqrt{Rr}}{r}
, \frac{R\sqrt{Rr}}{r}\cdot\frac{R+r}{R-r}
, \frac{R\sqrt{Rr}}{r}\cdot\frac{R+r}{R-r}
.
Решение. Пусть первая окружность с центром O_{1}
касается основания AB
равнобедренного треугольника ABC
в точке M
, а боковой стороны AC
— в точке K
; вторая окружность с центром O_{2}
касается стороны AC
в точке L
; окружности касаются в точке N
, а общая касательная окружностей, проведённая через точку N
, пересекает стороны AC
и BC
в точках P
и Q
соответственно.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому KO_{1}
и KO_{2}
— биссектрисы смежных углов APN
и CPN
. Значит, треугольник O_{1}PO_{2}
прямоугольный, а PN
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Тогда (см. задачу 2728)
PN=\sqrt{O_{1}N\cdot O_{2}N}=\sqrt{Rr},
а так как QN=PN
, то PQ=2\sqrt{Rr}
.
Треугольник ABC
подобен треугольнику PQC
с коэффициентом, равным отношению радиусов вписанных в них окружностей, т. е. \frac{R}{r}
. Следовательно,
AB=\frac{R}{r}\cdot PQ=\frac{R}{r}\cdot2\sqrt{Rr}=\frac{2R\sqrt{Rr}}{r}.
Пусть угол при основании данного треугольника равен \alpha
. Опустим перпендикуляр O_{2}F
на радиус O_{1}K
первой окружности, проведённый в точку касания со стороной AC
. Тогда \angle CO_{1}K=\angle CAM=\alpha
. Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим, что
\cos\alpha=\frac{O_{1}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{R-r}{R+r}.
Следовательно,
BC=AC=\frac{AM}{\cos\alpha}=\frac{AB}{2\cos\alpha}=\frac{2R\sqrt{Rr}}{r}\cdot\frac{R+r}{2(R-r)}=\frac{R\sqrt{Rr}}{r}\cdot\frac{R+r}{R-r}.
Источник: Вступительный экзамен на биолого-почвенный факультет МГУ. — 1966, № 3, вариант 5
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3, с. 52, вариант 5