13074. В прямоугольном треугольнике ABC
из вершины прямого угла B
опущена высота BE
. Из точки C
восставлен перпендикуляр к AC
, на котором отложен отрезок CD
, равный r
. Найдите площадь треугольника BCD
, если \angle A=\alpha
, AB=c
.
Ответ. \frac{cr\sin^{2}\alpha}{2\cos\alpha}
.
Решение. Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
BC=AB\tg\alpha=c\tg\alpha,
а так как
\angle BCD=90^{\circ}+\angle ACB=90^{\circ}+(90^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}-\alpha,
то (см. задачу 4254),
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin\angle BCD=\frac{1}{2}c\tg\alpha\cdot r\cdot\sin(180^{\circ}-\alpha)=
=\frac{1}{2}cr\tg\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{cr\sin^{2}\alpha}{2\cos\alpha}
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1968, отделение политической экономии, № 2, вариант 5
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 2, с. 345, вариант 5