13076. Окружность с центром O_{1}
касается окружности с центром O_{2}
изнутри. Хорда AB
второй окружности касается первой окружности и образует угол \alpha
с общей касательной окружностей. Найдите хорду AB
, если радиусы первой и второй окружностей равны r
и R
соответственно.
Ответ. 4\cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{(R-r)^{2}\sin\frac{\alpha}{2}+r(R-r)}=2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{R^{2}(1-\cos\alpha)+2rR\cos\alpha-r^{2}(1+\cos\alpha)}
.
Решение. Пусть окружности касаются в точке C
, продолжение хорды AB
пересекает общую касательную окружностей в точке D
, меньшая окружность касается хорды AB
в точке E
, а O_{2}M
— перпендикуляр к AB
. Тогда M
— середина хорды AB
(см. задачу 1676).
Из прямоугольного треугольника DCO_{1}
находим, что
DE=DC=O_{1}C\ctg\angle CDE=r\ctg\frac{\alpha}{2}.
Опустим перпендикуляр O_{2}F
на продолжение радиуса O_{1}E
первой окружности. Углы FO_{1}O_{2}
и CDA
равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, значит, \angle FO_{1}O_{2}=\alpha
. Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим, что
O_{2}F=O_{1}O_{2}\sin\angle FO_{1}O_{2}=(R-r)\sin\alpha,
поэтому
DM=DE+EM=DE+O_{2}F=r\ctg\frac{\alpha}{2}+(R-r)\sin\alpha.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
DC^{2}=DB\cdot DA=(DM-MB)(SM+MA)=
=\left(DM-\frac{1}{2}AB\right)\left(DM+\frac{1}{2}AB\right)=DM^{2}-\frac{1}{4}AB^{2}.
Следовательно,
AB=2\sqrt{DM^{2}-DC^{2}}=2\sqrt{\left(r\ctg\frac{\alpha}{2}+(R-r)\sin\alpha\right)^{2}-r^{2}\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}=
=2\sqrt{4(R-r)^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+\frac{4r(R-r)\sin\frac{\alpha}{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}}=
=2\cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{(R-r)^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+r(R-r)}=
=2\cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(R-r)^{2}(1-\cos\alpha)-\frac{1}{2}r^{2}(1+\cos\alpha)+rR\left(1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)}=
=2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{R^{2}(1-\cos\alpha)+2rR\cos\alpha-r^{2}(1+\cos\alpha)}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1968, отделение экономической кибернетики, № 2, вариант 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 2, с. 342, вариант 3