13077. Укажите виды всех треугольников, у которых стороны составляют арифметическую прогрессию, а углы тоже составляют арифметическую прогрессию.
Ответ. Равносторонние треугольники.
Решение. Пусть \alpha-c
, \alpha
и \alpha+c
(c\gt0
) — углы треугольника, а средняя по величине сторона треугольника равна a
. Тогда (см. задачу 3499) стороны треугольника, противолежащие указанным сторонам, равны a-d
, a
и a+d
(d\geqslant0
).
Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}
, поэтому
180^{\circ}=(\alpha-c)+\alpha+(\alpha+c)+\alpha=3\alpha,
Откуда \alpha=60^{\circ}
.
По теореме косинусов
a^{2}=(a-d)^{2}+(a+d^{2})-2(a-d)(a+d)\cos60^{\circ}=
=(a^{2}-2ad+d^{2})+(a^{2}+2ad+d^{2})-(a^{2}-d^{2})=a^{2}+3d^{2},
откуда d=0
. Следовательно, все стороны треугольника равны a
, т. е. треугольник равносторонний.